Premiers chiffres de n! (1999-02-04)

In article <36B87B25.4D19@club-internet.fr>,
   langlois bruno <blang@club-internet.fr> wrote:

> Qui pourrait trouver une preuve élégante du résultat suivant :

> Si a>0 est un entier alors il existe un naturel n tel que l'écriture en
> base 10 de n! commence (à gauche!) par celle de a.

> J'ai trouvé une démonstration , mais c'est un peu laborieux ...

Quelque chose de ce genre...

Idée
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n sera de la forme: [1 + 10^(-p) + k * 10^(-q)] * 10^q

p sera suffisamment grand de manière à ce que la suite des
u_k = [1 + 10^(-p)]^k soit suffisamment "dense" dans [1,10[.

q sera suffisamment grand de manière à ce que u_k soit à peu près égal
au produit des 1 + 10^(-p) + i * 10^(-q) pour i allant de 1 à k.

Un peu plus de détails...
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C'est plus pratique de tout passer au log (en base 10), et on se
ramène ainsi dans R/Z.

Soit I le log de l'ensemble des réels positifs commençant par les
chiffres de a (i.e. l'ensemble des log des éléments). C'est un
intervalle de R/Z; soit L sa longueur.

Soit epsilon un réel > 0 tel que log(1+epsilon) < L.

Soit p tel que 10^(-p) < epsilon, et K tel que [1 + 10^(-p)]^K >= 10.
Soit q > p tel que 10^(-p) + K * 10^(-q) < epsilon.

On pose C = [10^q + 10^(q-p)]! et pour k >= 0:
v_k = C * produit des [1 + 10^(-p) + i * 10^(-q)] pour i allant de 1 à k.

D'après les choix ci-dessus, un des log(v_k) doit rencontrer I dans R/Z:
on passe de log(v_k) à log(v_{k+1}) en ajoutant un nombre inférieur à
log(1+epsilon) < L, et pour k = K, on a parcouru tout le cercle R/Z.